미적분 예제

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x + x^{2})$

단계 1

$x \ln (x + x^{2})$ 을 $\frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

단계 2.1.2

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (x + x^{2})$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

단계 2.1.3

분자는 상수이고 분모는 $x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 근접할 때 $0$ 에 근접하므로 분수 $\frac{1}{x}$ 은 무한대로 발산합니다.

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $x + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 $x + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.6.2

$x + x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.3.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x^{1} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.6.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.6.2.3

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.6.2.4

$x \cdot 1 + x \cdot x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.6.3

$1 + 2 x$ 에 $\frac{1}{x (1 + x)}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 2.3.7

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

단계 2.3.8

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- x^{- 2}}$

단계 2.3.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

단계 2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x}{x (1 + x)} (- x^{2})$

단계 2.5

$\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x^{2}}{x (1 + x)}$

단계 2.6

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.1

$(1 + 2 x) x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

단계 2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

단계 2.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$

단계 2.7

$- \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

단계 3.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

단계 3.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

단계 3.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

단계 3.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

단계 3.6

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

단계 3.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

단계 3.8

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

단계 4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

단계 4.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

단계 4.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + 0}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$0$ 에 $1 + 2 \cdot 0$ 을 곱합니다.

$- \frac{0}{1 + 0}$

단계 5.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{0}{1}$

단계 5.3

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 0$

단계 5.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$