미적분 예제

$2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d}{d x} [2 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \tan (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

단계 2.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$2 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cot (x) \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$ 입니다.

$2 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$

단계 3.2

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 3.4

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x)) + 2 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

단계 4.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \sec^{2} (x) + 2 \cot (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \csc^{2} (x)$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) \cot (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.2

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cos (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.2.2

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.2.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.2.4

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.3

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.6

$- 2$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.7

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.7.1

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

단계 4.4.9

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 4.4.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.4.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.4.12

$2$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6

$2 \cos^{2} (x)$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.7

$- 2$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.8

$2 \cos^{2} (x)$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.9

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.10

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.11

$\sin^{2} (x)$ 및 $\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.11.1

$- 2 \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.11.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 \sin (x)}{1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.11.2.4

$- 2 \sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

$1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

단계 4.12.2

분수를 나눕니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.12.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\sec^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x)$

단계 4.12.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$