미적분 예제

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

단계 1

$\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sin^{2} (x)$ 은 $θ$ 에 대해 상수이므로, $\sin^{2} (x)$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

단계 1.2

먼저 $u = \sin (θ)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (θ) d θ$ 이므로 $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.2.1

$u = \sin (θ)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d θ}$ 를 구합니다.

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단계 1.2.1.1

$\sin (θ)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

단계 1.2.1.2

$\sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\cos (θ)$ 입니다.

$\cos (θ)$

단계 1.2.2

$u = \sin (θ)$ 의 $θ$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 1.2.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.2.4

$u = \sin (θ)$ 의 $θ$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (2 π)$

단계 1.2.5

간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{upper} = \sin (0)$

단계 1.2.5.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

단계 1.2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

단계 1.3

$u (\sin (x) - u)$ 을 전개합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

단계 1.3.2

$u$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

단계 1.3.3

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

단계 1.3.4

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

단계 1.3.5

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

단계 1.3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

단계 1.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

단계 1.3.8

$u \sin (x)$ 와 $- u^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

단계 1.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

단계 1.5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

단계 1.6

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

단계 1.7

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

단계 1.8

$\sin (x)$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\sin (x)$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

단계 1.9

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

단계 1.10

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

단계 1.11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 1.11.1

$0$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

단계 1.11.2

$0$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.2

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.2.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.4

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.4.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.4.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.7

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.9

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.9.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

단계 1.11.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

단계 1.11.3.11

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.11.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

단계 1.11.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.3.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

단계 1.11.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

단계 1.11.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

단계 1.11.3.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

단계 1.11.3.12

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

단계 1.11.3.13

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

단계 1.11.3.14

$\sin (x)$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

단계 1.11.3.15

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

단계 1.11.3.16

$\sin^{2} (x)$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{π} 0 d x$

단계 2

$\int_{0}^{π} 0 d x$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$0]_{0}^{π}$

단계 2.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$π$ , $0$ 일 때, $0$ 값을 계산합니다.

$(0) + 0$

단계 2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$