미적분 예제

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

단계 1

$u = \arctan (2 x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$x$ 와 $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

단계 2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

단계 3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

단계 4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

단계 5

먼저 $u = 4 x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 8 x d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 4 x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$4 x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.3.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$8 x + 0$

단계 5.1.4.2

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 x$

단계 5.2

$u = 4 x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

단계 5.3.1.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 5.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 5.4

$u = 4 x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

단계 5.5

간단히 합니다.

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단계 5.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

단계 5.5.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 4 + 1$

단계 5.5.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 5$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

단계 6.2

$u$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

단계 7

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{8}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

단계 8.2

$- 2$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

단계 8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

단계 8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

단계 8.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

단계 9

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$1$ , $0$ 일 때, $\arctan (2 x) x$ 값을 계산합니다.

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

단계 10.2

$5$ , $1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.3

간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.3.2

$\arctan (2)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.3.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.3.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.3.5

$0$ 에 $\arctan (0)$ 을 곱합니다.

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.3.6

$\arctan (2)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\arctan (2) - \frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

단계 11.2

$\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $5$ 사이의 거리는 $5$ 입니다.

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

단계 12.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

단계 12.3

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\arctan (2)$ 의 값을 구합니다.

$1.10714871 - \frac{\ln (5)}{4}$

단계 13.2

$1.10714871$ 에서 $\frac{\ln (5)}{4}$ 을 뺍니다.

$0.70478923$