미적분 예제

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

단계 1

먼저 $u = \frac{1}{2} t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2} d t$ 이므로 $2 d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{1}{2} t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{1}{2} t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{1}{2} t$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 1.2

$u = \frac{1}{2} t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

단계 1.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

단계 1.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

단계 1.4

$u = \frac{1}{2} t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

단계 1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

단계 1.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

단계 1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

단계 2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

단계 2.3

$\csc^{2} (u)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

단계 3

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

단계 4

$- \cot (u)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u)$ 이므로, $\csc^{2} (u)$ 의 적분값은 $- \cot (u)$ 이 됩니다.

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

단계 5

$\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{6}$ 일 때, $- \cot (u)$ 값을 계산합니다.

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\cot (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 입니다.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

단계 6.2

$\cot (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

단계 7.2

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

단계 7.2.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

단계 7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 8.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1.2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.1.2.6.5

지수값을 계산합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

단계 8.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 \sqrt{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

단계 8.3

$2 \sqrt{3}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

단계 8.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

단계 8.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

단계 8.5.2

$- 2 \sqrt{3}$ 를 $6 \sqrt{3}$ 에 더합니다.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

소수 형태:

$2.30940107 \dots$