미적분 예제

$f (x) = 5 x^{2} (x + 47)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2} (x + 47)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

단계 1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x + 47$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x + 47$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ 가 됩니다.

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.3

$47$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $47$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $47$ 입니다.

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.4.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

단계 1.3.6

$x + 47$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

단계 1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

단계 1.4.4

항을 묶습니다.

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단계 1.4.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

단계 1.4.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

단계 1.4.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

단계 1.4.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

단계 1.4.4.5

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

단계 1.4.4.6

$2$ 에 $47$ 을 곱합니다.

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

단계 1.4.4.7

$94$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

단계 1.4.4.8

$5 x^{2}$ 를 $10 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $15 x^{2} + 470 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{2}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [470 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$470$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $470 x$ 의 미분은 $470 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x + 470 \cdot 1$

단계 2.3.3

$470$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 30 x + 470$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $30 x + 470$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [30 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $30 x$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

단계 3.2.3

$30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$470$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $470$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $470$ 입니다.

$30 + 0$

단계 3.3.2

$30$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 30$

단계 4

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 3차 도함수는 $30$ 입니다.

$30$