미적분 예제

$4 x \ln (x)$

단계 1

$4 x \ln (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 4 x \ln (x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 4 x \ln (x) d x$

단계 4

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int x \ln (x) d x$

단계 5

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 6.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

단계 6.4

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

단계 6.5

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

단계 6.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.2.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

단계 6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

단계 6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

단계 9.2

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ 을 $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$

단계 10

답은 함수 $f (x) = 4 x \ln (x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$