미적분 예제

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

단계 1

공식 $\frac{a}{1 - r}$ 을 사용하여 무한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{i}$ , $a_{i + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

단계 2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

단계 2.2.2

${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ 및 ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ 에서 ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

단계 2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

단계 2.2.2.2.4

${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

단계 2.2.3

$i$ 를 $0$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

단계 2.2.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

단계 2.2.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

단계 2.2.5

$i$ 에서 $i$ 을 뺍니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

단계 2.2.6

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$r = \frac{1}{3}$

단계 3

$| r | < 1$ 이므로 급수가 수렴합니다.

단계 4

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

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단계 4.1

$i$ 의 $1$ 을 $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ 에 대입합니다.

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

단계 4.2.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

단계 4.2.3

조합합니다.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

단계 4.2.4

지수를 더하여 $1$ 에 $1^{0}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.4.1

$1$ 에 $1^{0}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1.1

$1$ 를 $1$ 승 합니다.

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

단계 4.2.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

단계 4.2.4.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

단계 4.2.5

$1^{1}$ 을 간단히 합니다.

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

단계 4.2.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a = \frac{1}{2}$

단계 5

비율과 첫 번째 항의 값을 합 공식에 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

단계 6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

단계 6.2.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

단계 6.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

단계 6.4

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

단계 6.5

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

단계 6.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3}{4}$

소수 형태:

$0.75$