미적분 예제

$y = (5 x^{2} - 3) (7 x^{3} + x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = 5 x^{2} - 3$ , $g (x) = 7 x^{3} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $7 x^{3} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$(5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

단계 1.2.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{3}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$(5 x^{2} - 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

단계 1.2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 3) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

단계 1.2.4

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

단계 1.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

단계 1.2.6

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 1.2.7

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 1.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 1.2.9

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 1.2.10

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + 0)$

단계 1.2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.11.1

$10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x)$

단계 1.2.11.2

$7 x^{3} + x$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (10 (7 x^{3}) + 10 x) x$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6

항을 묶습니다.

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단계 1.3.6.1

$21$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$105 x^{2} x^{2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.6.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$105 (x^{2} x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$105 x^{2 + 2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.3

$21$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.5

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.6

$- 63 x^{2}$ 를 $5 x^{2}$ 에 더합니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.7

$7$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{3} x + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 (x^{1} x^{3}) + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.10

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x \cdot x$

단계 1.3.6.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x)$

단계 1.3.6.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1})$

단계 1.3.6.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

단계 1.3.6.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{2}$

단계 1.3.6.15

$105 x^{4}$ 를 $70 x^{4}$ 에 더합니다.

$175 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 x^{2}$

단계 1.3.6.16

$- 58 x^{2}$ 를 $10 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$175$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $175 x^{4}$ 의 미분은 $175 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$175 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$175 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.2.3

$4$ 에 $175$ 을 곱합니다.

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x^{2}$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$700 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$700 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$700 x^{3} - 96 x + 0$

단계 2.4.2

$700 x^{3} - 96 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$