미적분 예제

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

단계 1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

단계 2

먼저 $u = 2 x + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 2 x + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2 x + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.2

$u = 2 x + 9$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 10 + 9$

단계 2.3.2

$- 10$ 를 $9$ 에 더합니다.

$u_{lower} = - 1$

단계 2.4

$u = 2 x + 9$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 18 + 9$

단계 2.5.2

$18$ 를 $9$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 27$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

단계 3

$u^{\frac{1}{3}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 5.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 5.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 5.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$27$ , $- 1$ 일 때, $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$27$ 을 $3^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2.4

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2.5

$\frac{3}{4}$ 와 $81$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2.6

$3$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2.7

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

단계 7.2.8

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

단계 7.2.9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

단계 7.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

단계 7.2.10

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

단계 7.2.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

단계 7.2.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

단계 7.2.13

$243$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

단계 7.2.14

$240$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.14.1

$240$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

단계 7.2.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.14.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

단계 7.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

단계 7.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

단계 7.2.14.2.4

$60$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot 60$

단계 7.2.15

$\frac{1}{3}$ 와 $60$ 을 묶습니다.

$\frac{60}{3}$

단계 7.2.16

$60$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.16.1

$60$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

단계 7.2.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.16.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

단계 7.2.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

단계 7.2.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{20}{1}$

단계 7.2.16.2.4

$20$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$20$

단계 8