미적분 예제

$y = 12 \sin (w t + π)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$12$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $12 \sin (w t + π)$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

단계 1.2

$f (w) = \sin (w)$ , $g (w) = w t + π$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $w t + π$ 로 바꿉니다.

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 1.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $w t + π$ 로 바꿉니다.

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $w t + π$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ 가 됩니다.

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

단계 1.3.2

$t$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $w t$ 의 미분은 $t \frac{d}{d w} [w]$ 입니다.

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

단계 1.3.4

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

단계 1.3.5

$π$ 이 $w$ 에 대해 일정하므로, $π$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $π$ 입니다.

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

단계 1.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 \cos (w t + π) t$

단계 1.3.6.2

$12 \cos (w t + π) t$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$12 t$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $12 t \cos (w t + π)$ 의 미분은 $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ 입니다.

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

단계 2.2

$f (w) = \cos (w)$ , $g (w) = w t + π$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $w t + π$ 로 바꿉니다.

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 2.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $w t + π$ 로 바꿉니다.

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $w t + π$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ 가 됩니다.

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

단계 2.3.3

$t$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $w t$ 의 미분은 $t \frac{d}{d w} [w]$ 입니다.

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

단계 2.3.5

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

단계 2.3.6

$π$ 이 $w$ 에 대해 일정하므로, $π$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $π$ 입니다.

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

단계 2.3.7

$t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

단계 2.4

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

단계 2.5

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 12 t^{2}$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ 의 미분은 $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ 입니다.

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

단계 3.2

$f (w) = \sin (w)$ , $g (w) = w t + π$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $w t + π$ 로 바꿉니다.

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $w t + π$ 로 바꿉니다.

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $w t + π$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ 가 됩니다.

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

단계 3.3.2

$t$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $w t$ 의 미분은 $t \frac{d}{d w} [w]$ 입니다.

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

단계 3.3.4

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

단계 3.3.5

$π$ 이 $w$ 에 대해 일정하므로, $π$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $π$ 입니다.

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

단계 3.3.6

$t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

단계 3.4

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

단계 3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

단계 3.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$