미적분 예제

$x^{\frac{2}{3}} (20 - x)$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = 20 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [20 - x] + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $20 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.2

$20$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $20$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $20$ 입니다.

$x^{\frac{2}{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- x] + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{\frac{2}{3}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.6.2

$x^{\frac{2}{3}}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.6.3

$- 1 x^{\frac{2}{3}}$ 을 $- x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.7

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

단계 6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

단계 8

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + 20 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2

항을 묶습니다.

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단계 10.2.1

$20$ 와 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{20 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.2

$20$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.3

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.4

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 10.2.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.2.5.1

$x^{- \frac{1}{3}}$ 를 옮깁니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3}$

단계 10.2.5.2

$x^{- \frac{1}{3}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 10.2.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3}$

단계 10.2.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3}$

단계 10.2.5.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3}$

단계 10.2.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3}$

단계 10.2.5.5

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 10.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- x^{\frac{2}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.7

$- x^{\frac{2}{3}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.9

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.10

$- 3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $2 x^{\frac{2}{3}}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$