미적분 예제

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 가 $π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.2

$π$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to π} x + π lim_{x \to π} \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.3

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $π$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x$ 에 $π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{π + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.4.2

$x$ 에 $π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{π + π \sec (π)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{π + π (- \sec (0))}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.5.1.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{π + π (- 1 \cdot 1)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.5.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π + π \cdot - 1}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.5.1.4

$π$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{π - 1 \cdot π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.5.1.5

$- 1 π$ 을 $- π$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{π - π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.2.5.2

$π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 가 $π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

단계 1.3.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

단계 1.3.1.3

$x$ 가 $π$ 에 가까워질 때 상수값 $π^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

단계 1.3.3

$π^{2}$ 에서 $π^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x + π \sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to π} \frac{1 + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π \sec (x)$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 입니다.

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

단계 3.4.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$lim_{x \to π} \frac{1 + π (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

단계 3.4.3

괄호를 제거합니다.

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $x^{2} - π^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

단계 3.8

$- π^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- π^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- π^{2}$ 입니다.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + 0}$

단계 3.9

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{x}$

단계 5

$x$ 가 $π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 6

$x$ 가 $π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 7

$π$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 8

$x$ 가 $π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 9

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 10

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 11

$x$ 가 $π$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 12

$x$ 가 있는 모든 곳에 $π$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x$ 에 $π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 12.2

$x$ 에 $π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{lim_{x \to π} x}$

단계 12.3

$x$ 에 $π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

단계 13

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- \sec (0)) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

단계 13.1.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- 1 \cdot 1) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

단계 13.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot - 1 \cdot \tan (π) + 1}{π}$

단계 13.1.4

$π$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

단계 13.1.5

$- 1 π$ 을 $- π$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

단계 13.1.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- \tan (0)) + 1}{π}$

단계 13.1.7

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- 0) + 1}{π}$

단계 13.1.8

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot 0 + 1}{π}$

단계 13.1.9

$- π \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.9.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 π + 1}{π}$

단계 13.1.9.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{π}$

단계 13.1.10

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

단계 13.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{π}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 π}$