미적분 예제

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$3 x t^{2} - 3 t^{2}$ 에서 $3 t^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$3 x t^{2}$ 에서 $3 t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

단계 2.1.2

$- 3 t^{2}$ 에서 $3 t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

단계 2.1.3

$3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ 에서 $3 t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

단계 2.2

양변에 $\frac{1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

단계 2.3.2

$3$ 와 $\frac{1}{x - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

단계 2.3.3

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$t^{2} (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

단계 2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

단계 2.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

단계 2.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

단계 3.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.1.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

단계 3.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

단계 3.3.2

멱의 법칙에 의해 $t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} t^{3}$ 가 됩니다.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

단계 3.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ 을 $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

단계 3.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

단계 3.3.3.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

단계 3.3.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

단계 3.3.3.2.3

$t^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

단계 4.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

단계 4.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

단계 4.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

단계 4.3.3

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$e^{t^{3} + C}$ 을 $e^{t^{3}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

단계 5.2

$e^{t^{3}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

단계 5.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$x = C e^{t^{3}} + 1$