미적분 예제

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

단계 1

방정식의 양변에서 $x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$ 를 뺍니다.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2} - x^{2}) = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2}) - x^{2} (- x^{2}) = 0$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 0$

단계 2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

단계 2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

단계 2.4.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) = 0$

단계 2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} = 0$

단계 2.4.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} = 0$

단계 2.4.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + 1 x^{4} = 0$

단계 2.4.4

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4} = 0$

단계 3

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

단계 3.1.2

$\frac{d}{d a} [a^{3} y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$y$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $a^{3} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d a} [a^{3}]$ 입니다.

$y \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

단계 3.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

단계 3.1.2.3

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 y a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$- 2 x^{2}$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $- 2 x^{2} a^{2}$ 의 미분은 $- 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$ 입니다.

$3 y a^{2} - 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

단계 3.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 y a^{2} - 2 x^{2} (2 a) + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

단계 3.1.4

$x^{4}$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $x^{4}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $x^{4}$ 입니다.

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + 0$

단계 3.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$

단계 3.1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (a) = 3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

단계 3.2

$f (a)$ 의 $a$ 에 대한 1차 도함수는 $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ 입니다.

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

단계 4

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$

단계 4.2

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3 a^{2} y$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$a (3 a y) - 4 x^{2} a = 0$

단계 4.2.2

$- 4 x^{2} a$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2}) = 0$

단계 4.2.3

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2})$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$

단계 4.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$a = 0$

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

단계 4.4

$a$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$a = 0$

단계 4.5

$3 a y - 4 x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $a$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$3 a y - 4 x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

단계 4.5.2

$3 a y - 4 x^{2} = 0$ 을 $a$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

방정식의 양변에 $4 x^{2}$ 를 더합니다.

$3 a y = 4 x^{2}$

단계 4.5.2.2

$3 a y = 4 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1

$3 a y = 4 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y$ 로 나눕니다.

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

단계 4.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

단계 4.5.2.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

단계 4.5.2.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

단계 4.5.2.2.2.2.2

$a$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

단계 4.6

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

단계 5

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 6

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $a$ 값에서 $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$a = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$a$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{3} y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

단계 6.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

단계 6.1.2.1.2

$0$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

단계 6.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 2 x^{2} \cdot 0 + x^{4}$

단계 6.1.2.1.4

$- 2 x^{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.4.1

$0$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 + 0 x^{2} + x^{4}$

단계 6.1.2.1.4.2

$0$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + x^{4}$

단계 6.1.2.2

$0 + 0 + x^{4}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + x^{4}$

단계 6.1.2.2.2

$0$ 를 $x^{4}$ 에 더합니다.

$x^{4}$

단계 6.2

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$a$ 에 $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ 를 대입합니다.

${(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{3} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.1

$\frac{4 x^{2}}{3 y}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.1.2

$4 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.1.3

$3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.2.1

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{64 {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.2.2

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{64 x^{2 \cdot 3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.2.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{64 x^{6}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.4.1

$27 y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.5

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.5.1

$\frac{4 x^{2}}{3 y}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{{(4 x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.5.2

$4 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.5.3

$3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.6.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.6.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{2 \cdot 2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.6.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.7

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.8

$- 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.8.1

$- 2$ 와 $\frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 2 (16 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.8.2

$16$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.8.3

$x^{2}$ 와 $\frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{2} (- 32 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.8.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.8.4.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.8.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4 + 2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.8.4.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{6} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.9

$x^{6}$ 의 왼쪽으로 $- 32$ 이동하기

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{- 32 \cdot x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.1.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} \cdot \frac{3}{3} + x^{4}$

단계 6.2.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $27 y^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

$\frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{9 y^{2} \cdot 3} + x^{4}$

단계 6.2.2.3.2

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.5.1.1

$64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3$ 에서 $32 x^{6}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.5.1.1.1

$64 x^{6}$ 에서 $32 x^{6}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32 x^{6} (2) - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.5.1.1.2

$- 32 x^{6} \cdot 3$ 에서 $32 x^{6}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.5.1.1.3

$32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)$ 에서 $32 x^{6}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32 x^{6} (2 - 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.5.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{32 x^{6} (2 - 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.5.1.3

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{32 x^{6} \cdot - 1}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.5.1.4

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{- 32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.2.2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

단계 6.3

모든 점을 나열합니다.

$(0, x^{4}), (\frac{4 x^{2}}{3 y}, - \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4})$

단계 7