미적분 예제

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

단계 2

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$4 x + 4 x^{2}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

$4 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

단계 2.1.1.1.2

$4 x^{2}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

단계 2.1.1.1.3

$4 x (1) + 4 x (x)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

단계 2.1.1.2

공약수를 소거하여 수식 $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

단계 2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

단계 2.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{1 + x}$

단계 2.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $4 (1 + x)$ 입니다.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

단계 2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

단계 2.1.5

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

단계 2.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

단계 2.1.6

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

단계 2.1.6.2

$(A) \cdot (4)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = (A) \cdot (4)$

단계 2.1.7

$A$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$1 = 4 A$

단계 2.2

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4 A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 A = 1$

단계 2.2.2

$4 A = 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$4 A = 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

단계 2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

단계 2.2.2.2.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{1}{4}$

단계 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

단계 2.4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{1 + x}$ 을 곱합니다.

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

단계 5

먼저 $u = 1 + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 1 + x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$1 + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 5.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

단계 6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

단계 7

간단히 합니다.

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$