미적분 예제

$\int x^{2} (5^{x^{3}} - 3^{2 x^{3}}) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}}) \frac{1}{3} d u_{1}$

단계 2

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int 5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}} d u_{1}$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} (\int 5^{u_{1}} d u_{1} + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

단계 4

$5^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

단계 5

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

단계 6

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 7

$3^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int \frac{3^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - (\frac{1}{2} \int 3^{u_{2}} d u_{2}))$

단계 9

$3^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \frac{1}{2} (\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)} + C))$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 11.1

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

단계 11.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 u_{1}}}{2 \ln (3)}) + C$

단계 11.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

단계 12.2

조합합니다.

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

단계 12.3

$\frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)})$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{3 (2 \ln (3))} + C$

단계 12.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

단계 12.4

$5^{x^{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3 \ln (5)} \cdot 5^{x^{3}} - \frac{1}{6 \ln (3)} \cdot 3^{2 x^{3}} + C$