미적분 예제

$3 x^{5} + 4 x^{4} - 18 x^{2} + 6 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{5} + 4 x^{4} - 18 x^{2} + 6 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.2.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{4}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$15 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} + 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.3.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} + 16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 18 x^{2}$ 의 미분은 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.4.3

$2$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.5.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6 \cdot 1$

단계 1.5.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{4}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.2.3

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{3}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$60 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$60 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.3.3

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$60 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.4.3

$- 36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [6]$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 + 0$

단계 2.5.2

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $60 x^{3}$ 의 미분은 $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 3.2.3

$3$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x^{2}$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$180 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$180 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 3.3.3

$2$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$180 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$- 36$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 36$ 입니다.

$180 x^{2} + 96 x + 0$

단계 3.4.2

$180 x^{2} + 96 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 180 x^{2} + 96 x$