미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{4 x}$

단계 1

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(2 - 3 x)}^{7}$ 의 지수 $7$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $128$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 \cdot 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.3.1.1

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.3

$2$ 를 $7$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.4

$- 1$ 에 $128$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 128}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.2

$128$ 에서 $128$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 ${(2 - 3 x)}^{7} - 128$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.3.1

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = 2 - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 - 3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.1.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $2 - 3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.2

합의 법칙에 의해 $2 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.4

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.6

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.7

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \cdot - 3 + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.8

$- 3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4

$- 128$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 128$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 128$ 입니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.5

$- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{1}$

단계 2.4

$- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - 21 {(2 - 3 x)}^{6}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$- 21$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot - 21 lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{6}$

단계 3.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(2 - 3 x)}^{6}$ 의 지수 $6$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{6}$

단계 3.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

단계 3.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

단계 3.5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{6}$

단계 4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{4}$ 와 $- 21$ 을 묶습니다.

$\frac{- 21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

단계 5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

단계 5.3

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{21}{4} {(2 + 0)}^{6}$

단계 5.4

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{21}{4} \cdot 2^{6}$

단계 5.5

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$- \frac{21}{4} \cdot 64$

단계 5.6

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1

$- \frac{21}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 21}{4} \cdot 64$

단계 5.6.2

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 (16))$

단계 5.6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 \cdot 16)$

단계 5.6.4

수식을 다시 씁니다.

$- 21 \cdot 16$

단계 5.7

$- 21$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 336$