미적분 예제

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

단계 1

$2 t + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2}{\sqrt{t + 1}} d t]$

단계 1.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2 (1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

단계 1.3

$2 (t) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

단계 2

$\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ 에 $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}} d t]$

단계 3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ 에 $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t + 1}} d t]$

단계 3.1.2

$\sqrt{t + 1}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} \sqrt{t + 1}} d t]$

단계 3.1.3

$\sqrt{t + 1}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} {\sqrt{t + 1}}^{1}} d t]$

단계 3.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1 + 1}} d t]$

단계 3.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{2}} d t]$

단계 3.1.6

${\sqrt{t + 1}}^{2}$ 을 $t + 1$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t + 1}$ 을(를) ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{({(t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

단계 3.1.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

단계 3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

단계 3.1.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

단계 3.1.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{1}} d t]$

단계 3.1.6.5

간단히 합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

단계 3.2

$t + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

단계 3.2.2

$2 \sqrt{t + 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t]$

단계 4

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1] (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

단계 5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(2 x + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

단계 5.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(2 x + 0) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

단계 5.4.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 2})$

단계 5.4.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x \sqrt{x^{2} + 2}$