미적분 예제

$x + \sqrt{x + 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \sqrt{x + 1}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

단계 1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

단계 1.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

단계 1.2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

단계 1.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

단계 1.2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

단계 1.2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

단계 1.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

단계 1.2.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 1.2.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

단계 1.2.13

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.2.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

단계 2.2.4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

단계 2.2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

단계 2.2.5

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

단계 2.2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

단계 2.2.8

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

단계 2.2.8.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.8.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

단계 2.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

단계 2.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

단계 2.2.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

단계 2.2.10

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

단계 2.2.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

단계 2.2.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.12.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

단계 2.2.12.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

단계 2.2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

단계 2.2.14

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

단계 2.2.15

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

단계 2.2.16

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 2.2.17

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 2.2.18

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 ${(x + 1)}^{- 1}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 2.2.19

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

단계 2.2.20

지수를 더하여 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.20.1

$x + 1$ 를 옮깁니다.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

단계 2.2.20.2

$x + 1$ 에 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.20.2.1

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

단계 2.2.20.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

단계 2.2.20.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

단계 2.2.20.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

단계 2.2.20.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

단계 2.2.21

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

단계 2.2.22

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.3

$0$ 에서 $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$