미적분 예제

$f (x) = x^{3} + a x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + a x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

단계 1.1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [a x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + a \cdot 1$

단계 1.1.2.3

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 x^{2} + a$ 입니다.

$3 x^{2} + a$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} + a = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 x^{2} + a = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $a$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} = - a$

단계 2.3

$3 x^{2} = - a$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$3 x^{2} = - a$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

단계 2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

단계 2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

단계 2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

단계 2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x^{3} + a x$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ 를 대입합니다.

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1.1

${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ 을 $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.2

$- \frac{a}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.4

$\frac{a}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.5

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.6

$- \frac{a^{3}}{27}$ 을 ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.1.2.1.6.1

$a^{3}$ 에서 완전제곱인 $a^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.6.2

$27$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.6.3

분수 $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ 를 다시 정렬합니다.

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.6.4

$- 1$ 와 ${(\frac{a}{3})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.6.5

괄호를 표시합니다.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.1.8

$\frac{a}{3}$ 와 $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.1.2.3

항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.3.1

$a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

단계 4.1.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

단계 4.1.2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.4.1

$a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

단계 4.1.2.4.2

$a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 를 $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 에 더합니다.

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

단계 4.2

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 를 대입합니다.

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.3

${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ 을 $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.4

$- \frac{a}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.5

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.6

$\frac{a}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.7

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.8

$- \frac{a^{3}}{27}$ 을 ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.2.2.8.1

$a^{3}$ 에서 완전제곱인 $a^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.8.2

$27$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.8.3

분수 $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ 를 다시 정렬합니다.

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.8.4

$- 1$ 와 ${(\frac{a}{3})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.8.5

괄호를 표시합니다.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.10

$\frac{a}{3}$ 와 $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 4.2.2.11

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

단계 5