미적분 예제

$\int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

단계 3.2

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

단계 3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

단계 3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

단계 3.7

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

단계 3.8

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

단계 3.9

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

단계 3.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

단계 3.11

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

단계 3.12

$x^{\frac{3}{2}}$ 와 $- x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

단계 8.1.2

$\frac{2}{5}$ 와 $x^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

단계 8.2

간단히 합니다.

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$