미적분 예제

$\int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}} d x$

단계 1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{3}} d x$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3} d x$

단계 3

$(x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.4

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \int x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{1 - 3} - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.8

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.9

$1$ 와 $- 4 x^{- 2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} + 1 - 1 x^{- 3} d x$

단계 3.10

$1$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} + 1 d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

단계 5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 3} d x + \int d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int d x)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int d x)$

단계 9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int d x)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + x + C)$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$