미적분 예제

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

단계 3

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

단계 5

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 5.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 5.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

단계 6.2

$\csc^{2} (u)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

단계 8

$- \cot (u)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u)$ 이므로, $\csc^{2} (u)$ 의 적분값은 $- \cot (u)$ 이 됩니다.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

단계 9.2

$\frac{1}{3}$ 와 $\cot (u)$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$