미적분 예제

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

단계 1

먼저 $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{3} = \sin (e^{2 x})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sin (e^{2 x})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

단계 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = e^{2 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{2 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{2 x}$ 로 바꿉니다.

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 1.1.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.1.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.1.4

미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

단계 1.1.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

단계 1.1.4.3.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

단계 1.1.4.3.3

$\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

단계 1.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

단계 2

${u_{3}}^{4}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

단계 4

멱의 법칙에 의해 ${u_{3}}^{4}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

단계 5.2.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

단계 6

$u_{3}$ 를 모두 $\sin (e^{2 x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$