미적분 예제

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

단계 1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \sqrt{3 x + 2}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} (\frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{9}$ 와 ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

단계 2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

단계 3

$\frac{2}{9} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{9} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \cdot 2 \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{9}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

단계 4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

단계 5

먼저 $u = 3 x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 3 x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$3 x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 5.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1.4.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 + 0$

단계 5.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int u^{\frac{3}{2}} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) \frac{1}{3} d u$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) d u$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (- \frac{2}{3}) d u$

단계 7.2

$\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

단계 7.3

$\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 에 $\frac{u}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

단계 7.4

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u^{1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

단계 7.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + 1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

단계 7.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

단계 7.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3 + 2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

단계 7.8

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

단계 7.9

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

단계 7.10

$- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2}{3} d u$

단계 7.11

$\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}}{3} d u$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$u^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{2 \cdot u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

단계 8.2

$- 1 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

단계 8.3

$\frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 8.4

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 3} d u$

단계 8.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

단계 10

$\frac{1}{9}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{5}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

단계 12

$\frac{2}{7}$ 와 $u^{\frac{7}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

단계 13

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

단계 14

$\frac{2}{9}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - (\frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

단계 15

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

$\frac{2}{5}$ 와 $u^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

단계 16.2

간단히 합니다.

$\frac{2}{9} x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.3

간단히 합니다.

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단계 16.3.1

$\frac{2}{9}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2}}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.3.2

$\frac{2 x^{2}}{9}$ 와 ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.3.3

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{2}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{9 \cdot 7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.3.4

$9$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.3.5

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{2}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.3.7

$5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{9}{9} + C$

단계 16.3.9

$- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

단계 16.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

단계 16.3.11

$\frac{2}{63}$ 와 $u^{\frac{7}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

단계 16.3.12

$u^{\frac{5}{2}}$ 와 $\frac{4}{45}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45}) \cdot 9}{9} + C$

단계 16.3.13

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 9 (\frac{4}{9}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

단계 16.3.14

$- 9$ 와 $\frac{4}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 \cdot 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

단계 16.3.15

$- 9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

단계 16.3.16

$- 36$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.3.16.1

$- 36$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

단계 16.3.16.2

공약수로 약분합니다.

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단계 16.3.16.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

단계 16.3.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

단계 16.3.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

단계 16.3.16.2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

단계 16.3.17

$u^{\frac{5}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

단계 17

$u$ 를 모두 $3 x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

단계 18

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{9} (2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{63} {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}})) + C$