미적분 예제

$3^{x} + 2021$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3^{x} + 2021$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

단계 1.2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

단계 1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$2021$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2021$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2021$ 입니다.

$3^{x} \ln (3) + 0$

단계 1.3.2

$3^{x} \ln (3)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\ln (3)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3^{x} \ln (3)$ 의 미분은 $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 입니다.

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 2.2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

단계 2.3

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

단계 2.4

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

단계 2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

단계 2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$\ln^{2} (3)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3^{x} \ln^{2} (3)$ 의 미분은 $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 입니다.

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 3.2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

단계 3.3

지수를 더하여 $\ln^{2} (3)$ 에 $\ln (3)$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1

$\ln (3)$ 를 옮깁니다.

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

단계 3.3.2

$\ln (3)$ 에 $\ln^{2} (3)$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.2.1

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

단계 3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

단계 3.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

단계 3.4

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$