미적분 예제

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

긴 다항식 나눗셈을 이용하여 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 1.1.2

피제수 $x^{5}$ 의 고차항을 제수 $x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 1.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

단계 1.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

단계 1.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

단계 1.1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 1.1.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

단계 1.2

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

단계 1.2.1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 1.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

단계 1.2.1.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 1.2.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 1}$

단계 1.2.3

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 입니다.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.6

$x^{2} + x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.6.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.7.1.2

$(A) (x^{2} + x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.7.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.7.4

$x^{2} + x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.2.7.4.2

$(B x + C) (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

단계 1.2.7.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(B x + C) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

단계 1.2.7.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

단계 1.2.7.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

단계 1.2.7.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.6.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.6.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

단계 1.2.7.6.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

단계 1.2.7.6.2

$B x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

단계 1.2.7.6.3

$- 1 (B x)$ 을 $- (B x)$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

단계 1.2.7.6.4

$C$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

단계 1.2.7.6.5

$- 1 C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

단계 1.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.1

$B$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

단계 1.2.8.2

$B$ 를 옮깁니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

단계 1.2.8.3

$A$ 를 옮깁니다.

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

단계 1.2.8.4

$A x$ 를 옮깁니다.

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

단계 1.3

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A + B$

단계 1.3.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A - 1 B + C$

단계 1.3.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A - 1 C$

단계 1.3.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

단계 1.4

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$1 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$A + B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

단계 1.4.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

단계 1.4.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $1 - B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$0 = A - 1 B + C$ 의 $A$ 를 모두 $1 - B$ 로 바꿉니다.

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

단계 1.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$(1 - B) - 1 B + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1.1

$- 1 B$ 을 $- B$ 로 바꿔 씁니다.

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

단계 1.4.2.2.1.2

$- B$ 에서 $B$ 을 뺍니다.

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

단계 1.4.2.3

$0 = A - 1 C$ 의 $A$ 를 모두 $1 - B$ 로 바꿉니다.

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

단계 1.4.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.4.1

$- 1 C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

단계 1.4.3

$1$ 와 $- B$ 을 다시 정렬합니다.

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

단계 1.4.4

$0 = 1 - 2 B + C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

$1 - 2 B + C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

단계 1.4.4.2

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

단계 1.4.4.2.2

방정식의 양변에 $2 B$ 를 더합니다.

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

단계 1.4.5

각 방정식에서 $C$ 를 모두 $- 1 + 2 B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.1

$0 = 1 - B - C$ 의 $C$ 를 모두 $- 1 + 2 B$ 로 바꿉니다.

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.2.1

$1 - B - (- 1 + 2 B)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.5.2.1.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.5.2.1.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.5.2.1.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.2.1.2.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.5.2.1.2.2

$- B$ 에서 $2 B$ 을 뺍니다.

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.6

$0 = - 3 B + 2$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.1

$- 3 B + 2 = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.6.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.6.3

$- 3 B = - 2$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.3.1

$- 3 B = - 2$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.6.3.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $\frac{2}{3}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.1

$C = - 1 + 2 B$ 의 $B$ 를 모두 $\frac{2}{3}$ 로 바꿉니다.

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.2.1

$- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.2.1.1

$2 (\frac{2}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.2.1.1.1

$2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7.2.1.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7.2.1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7.2.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7.2.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.2.1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7.2.1.5.2

$- 3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

단계 1.4.7.3

$A = - B + 1$ 의 $B$ 를 모두 $\frac{2}{3}$ 로 바꿉니다.

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

단계 1.4.7.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.4.1

$- (\frac{2}{3}) + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.4.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

단계 1.4.7.4.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

단계 1.4.7.4.1.3

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

단계 1.4.8

모든 해를 나열합니다.

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

단계 1.5

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

분수의 분자와 분모에 $3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

$\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

단계 1.6.1.2

조합합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

단계 1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

단계 1.6.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

단계 1.6.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

단계 1.6.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

단계 1.6.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

단계 1.6.3.3

$3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.3.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

단계 1.6.3.3.2

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

단계 1.6.3.3.3

$3 \cdot 1$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

단계 1.6.3.3.4

$3 (x^{2}) + 3 (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

단계 1.6.3.3.5

$3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

단계 1.6.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

단계 1.6.5

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

단계 5

먼저 $u_{1} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u_{1} = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

단계 6

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

단계 8

먼저 $u_{2} = x^{2} + x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ 이므로 $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u_{2} = x^{2} + x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x^{2} + x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 1 + 0$

단계 8.1.6

$2 x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x + 1$

단계 8.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{1}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 11.2

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$