미적분 예제

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x^{5} - 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 10 x^{4} d x$ 이므로 $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 x^{5} - 7$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x^{5} - 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x^{5} - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{5}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 1.1.3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 1.1.3.3

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$10 x^{4} + 0$

단계 1.1.4.2

$10 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 x^{4}$

단계 1.2

$u = 2 x^{5} - 7$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

단계 1.3.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 - 7$

단계 1.3.2

$0$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 7$

단계 1.4

$u = 2 x^{5} - 7$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

단계 1.5.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 2 - 7$

단계 1.5.2

$2$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 5$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

단계 2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

단계 3

$\frac{1}{10}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{10}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

단계 4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

단계 5

$- 5$ , $- 7$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{10} e^{- 5} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

단계 6.2

$\frac{1}{10}$ 와 $e^{- 5}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{- 5}}{10} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

단계 6.3

$\frac{1}{10}$ 와 $e^{- 7}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{- 5}}{10} - \frac{e^{- 7}}{10}$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{e^{- 7}}{10}$

단계 6.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 7}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

소수 형태:

$0.00058260 \dots$

단계 8