미적분 예제

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

단계 1

$y'$ 를 구합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

단계 1.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.2

미분합니다.

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단계 1.3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

단계 1.3.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \cdot 2$

단계 1.3.2.3.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{2 x}$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 2 e^{2 x}$

단계 2

$y''$ 를 구합니다.

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단계 2.1

도함수를 구합니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{2 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.4

괄호를 제거합니다.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

단계 2.8

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'' = 4 e^{2 x}$

단계 3

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

단계 4

$2 e^{2 x}$ 를 $4 e^{2 x}$ 에 더합니다.

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

단계 5

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

$y = e^{2 x}$ 이 $y' + y'' = 6 e^{2 x}$ 의 해입니다.