미적분 예제

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1$ is concave down at $x = 1$

단계 1

$x = 1$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 1^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 1$

단계 1.2.3

괄호를 제거합니다.

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

단계 1.2.4

${(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = 1 - 6 {(1)}^{2} + 1$

단계 1.2.4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = 1 - 6 \cdot 1 + 1$

단계 1.2.4.1.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 1 - 6 + 1$

단계 1.2.4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.2.1

$1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$y = - 5 + 1$

단계 1.2.4.2.2

$- 5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = - 4$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = - 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 6 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{2}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} - 12 x + 0$

단계 2.3.2

$3 x^{2} - 12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 12 x$

단계 2.4

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

단계 2.5.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 12 \cdot 1$

단계 2.5.1.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 12$

단계 2.5.2

$3$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$- 9$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $- 9$ 과 주어진 점 $(1, - 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 4) = - 9 \cdot (x - (1))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 9 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y + 4 = 0 + 0 - 9 \cdot (x - 1)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + 4 = - 9 x - 9 \cdot - 1$

단계 3.3.1.4

$- 9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + 4 = - 9 x + 9$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$y = - 9 x + 9 - 4$

단계 3.3.2.2

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = - 9 x + 5$

단계 4