미적분 예제

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} y - \frac{x}{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

단계 2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

단계 2.2.4

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{x}{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

단계 2.3.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

단계 2.3.7

$\frac{x}{y}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

단계 2.3.8

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2} y'$ 을 표현하기 위해 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

단계 2.4.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

단계 3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

단계 5.1.1.2

$- (- x y')$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

단계 5.1.1.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

단계 5.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x y$ 을 표현하기 위해 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

단계 5.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

단계 5.1.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.4.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

단계 5.1.4.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

단계 5.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

단계 5.1.4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

방정식의 양변에서 $2 x y^{3}$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

단계 5.3.1.2

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

단계 5.3.2

$x^{2} y' y^{2} + x y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$x^{2} y' y^{2}$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

단계 5.3.2.2

$x y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

단계 5.3.2.3

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

단계 5.3.3

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ 의 각 항을 $x (x y^{2} + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ 의 각 항을 $x (x y^{2} + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.2.2

$x y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x y^{2} + 1) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.3.1

$\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.3.2

$(x y^{2} + 1) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.5

$- 2 y^{3} x + y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.5.1

$- 2 y^{3} x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.5.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.5.3

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.5.4

$y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.6

$- 2 y^{2} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.7

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.8

$- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.9.1

$- (2 y^{2} x - 1)$ 을 $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 5.3.3.3.9.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$