미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{x^{2}}{4} d x + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int x^{2} d x + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 6

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 7

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 7.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 7.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 7.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 7.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int x^{- 2} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - \int \sqrt{x} d x + \int π d x$

단계 10

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int π d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int π d x$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + π x + C$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + π x + C$

단계 13.2

간단히 합니다.

$\frac{x^{3}}{12} - \frac{2}{3 x} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + π x + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{12} x^{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + π x + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{12} x^{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + π x + C$