미적분 예제

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 4 x^{2} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{2} - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $4 x^{2} - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.5

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

단계 2.6

분수를 통분합니다.

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단계 2.6.1

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

단계 2.6.2

$8$ 와 $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

단계 2.6.3

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

단계 3.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 을 $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

단계 3.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

단계 3.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

단계 3.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.2.3.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.2.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.2.3.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.2.3.1.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.2.3.1.4

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.2.3.1.5

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.2.3.1.6

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

단계 3.2.3.2

$- 12 x^{2}$ 에서 $12 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

단계 3.2.4

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

단계 3.2.5

$16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.2.5.1

$16 x^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

단계 3.2.5.2

$- 24 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

단계 3.2.5.3

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

단계 3.2.5.4

$2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

단계 3.2.5.5

$2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

단계 3.3

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1

$8 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

단계 3.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$