미적분 예제

$f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 12 x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 4

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \int x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 6

$24$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $24$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 7

식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$x^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 7.2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 7.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 7.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{- 4} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 가 됩니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$x^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

단계 11

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

단계 12

식을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

단계 12.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 12.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 12.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 12.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 12.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

간단히 합니다.

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 14.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$