미적분 예제

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

단계 2

$2$ 와 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

단계 3

$f (x) = 3 x - 1$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.2

$x^{2} + 3$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.9

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.10

분수를 통분합니다.

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단계 4.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.10.3

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ 에 $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5

지수를 더하여 $x^{2} + 3$ 에 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x^{2} + 3$ 에 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.1

$x^{2} + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

단계 5.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.1.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 x + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.2.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.2.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.2.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.2.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.2.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.2.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.3

$3 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.4

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)$ 를 전개합니다.

$\frac{6 x (- 3 x^{2}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.5.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.5.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6 \cdot - 3 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.3

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.4

$9$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x \cdot x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.5.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.7

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.8

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.9

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.5.10

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 4 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.6

$54 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.5.7

$12 x^{2}$ 를 $6 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.7

$- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.7.1

$- 18 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.7.2

$18 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.7.3

$50 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.7.4

$- 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.7.5

$2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.7.6

$2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.7.7

$2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.8

$- 9 x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (9 x^{3}) + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.9

$9 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.10

$- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.11

$25 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.12

$- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.13

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.14

$- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.15

$- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ 을 $- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$