미적분 예제

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

단계 3

먼저 $u = 5 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = 5 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$5 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $5 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 + 0$

단계 3.1.4.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

단계 4

$5^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

단계 5

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

단계 6

$5^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ 입니다.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

단계 7

$- 15$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 15$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

단계 9.2

간단히 합니다.

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$5^{u}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

단계 9.3.2

$5^{u}$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$5^{u}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.2.1

$5 \ln (5)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

단계 9.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

단계 9.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

단계 9.3.3

$- 15$ 와 $\frac{x^{5}}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

단계 9.3.4

$- 15$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.4.1

$- 15 x^{5}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

단계 9.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.4.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

단계 9.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

단계 9.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

단계 9.3.4.2.4

$- 3 x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

단계 9.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3 x^{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ 을 곱합니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

단계 9.3.6

$- 3 x^{5}$ 와 $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

단계 9.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$