미적분 예제

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{25 x^{2} - 7}}{x + 2}$

단계 1

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $- \sqrt{x^{2}} = x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.2.1.2

$25$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{25 + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.4

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.5

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.6

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 25 - lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.7

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $25$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- \sqrt{25 - lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

단계 2.8

$7$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- \sqrt{25 - 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

단계 3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{- \sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- \sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}$

단계 4.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- \sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}$

단계 4.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- \sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{- \sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$- 7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{25 + 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

단계 6.1.2

$25$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \sqrt{25}}{1 + 2 \cdot 0}$

단계 6.1.3

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- \sqrt{5^{2}}}{1 + 2 \cdot 0}$

단계 6.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{- 1 \cdot 5}{1 + 2 \cdot 0}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot 5}{1 + 0}$

단계 6.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 \cdot 5}{1}$

단계 6.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 5}{1}$

단계 6.4

$- 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 5$