미적분 예제

$\int 2 (2^{2 x}) d x$

단계 1

$2$ 에 $2^{2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 2^{1} \cdot 2^{2 x} d x$

단계 1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 2^{1 + 2 x} d x$

단계 2

먼저 $u = 1 + 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 1 + 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$1 + 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 \cdot 1$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 2$

단계 2.1.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 3

$2^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

단계 5

$2^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{\ln (2)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $1 + 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{1 + 2 x} + C$