미적분 예제

$y = x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \ln (5 x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$ 입니다.

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$1 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$1 + 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.6

$\frac{1}{5 x}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.7

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.1

공약수로 약분합니다.

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 2.8

$3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$1 + \frac{3}{x} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{3}{x} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 3.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 4.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 4.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 4.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- π]$

단계 5

$- π$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- π$ 입니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + 0$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$

단계 6.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$