미적분 예제

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{3}{x y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d x}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{3}{x y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{3}{x y} = 0$

단계 1.1.2

$\frac{d x}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{x}{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d x}{d y} - \frac{3}{x y} = - \frac{x}{y}$

단계 1.1.2.2

방정식의 양변에 $\frac{3}{x y}$ 를 더합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{3}{x y}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x y}$

단계 1.2.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $y x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$\frac{x}{y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{3}{x y}$

단계 1.2.2.2

$y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{3}{x y}$

단계 1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x \cdot x + 3}{x y}$

단계 1.2.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- (x \cdot x) + 3}{x y}$

단계 1.2.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

단계 1.4

양변에 $\frac{x}{- x^{2} + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} (\frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{- x^{2} + 3}{x}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

단계 1.5.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x (y)}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{y}$

단계 1.5.3

$\frac{1}{- x^{2} + 3}$ 에 $\frac{- x^{2} + 3}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

단계 1.5.4

$- x^{2} + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

단계 1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \frac{1}{y} d y$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = - x^{2} + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = - x^{2} + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$- x^{2} + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 3]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $- x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.1.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$- 2 x + 0$

단계 2.2.1.1.4.2

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2.2.3

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $- x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.3

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) = \ln (| y |) + C$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |)) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\ln (| - x^{2} + 3 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- - \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

단계 3.2.1.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

단계 3.2.1.1.3.2

$\ln (| - x^{2} + 3 |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 \ln (| y |) - 2 C$

단계 3.3

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |) = - 2 C$

단계 3.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln ({| y |}^{2}) = - 2 C$

단계 3.4.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln (y^{2}) = - 2 C$

단계 3.4.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2}) = - 2 C$

단계 3.4.1.3

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$

단계 3.5

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |)} = e^{- 2 C}$

단계 3.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 2 C} = y^{2} | - x^{2} + 3 |$

단계 3.7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$

단계 3.7.2

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ 의 각 항을 $y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ 의 각 항을 $y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

단계 3.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.2.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

단계 3.7.2.2.1.2

$| - x^{2} + 3 |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| - x^{2} + 3 | = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

단계 3.7.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$- x^{2} + 3 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

단계 3.7.4

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$

단계 3.7.5

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.1

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.7.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.7.5.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.7.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$x^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.7.5.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ 을 $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.7.5.3.1.3

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3$

단계 3.7.6

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{y^{2}}) + 3}$

단계 4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$x = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{y^{2}}) + 3}$