미적분 예제

$\frac{d f}{d x} = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 9$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d f = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d f = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f + C_{1} = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$45$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $45$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f + C_{1} = 45 \int x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 9 x^{2} + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 18 x d x$ 이므로 $\frac{1}{18} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 9 x^{2} + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$9 x^{2} + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $9 x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.2.1.3.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$18 x + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.4.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$18 x + 0$

단계 2.3.2.1.4.2

$18 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$18 x$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$f + C_{1} = 45 \int \sqrt{u} \frac{1}{18} d u$

단계 2.3.3

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{18}$ 을 묶습니다.

$f + C_{1} = 45 \int \frac{\sqrt{u}}{18} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{18}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{18}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f + C_{1} = 45 (\frac{1}{18} \int \sqrt{u} d u)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$\frac{1}{18}$ 와 $45$ 을 묶습니다.

$f + C_{1} = \frac{45}{18} \int \sqrt{u} d u$

단계 2.3.5.1.2

$45$ 및 $18$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.1

$45$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f + C_{1} = \frac{9 (5)}{18} \int \sqrt{u} d u$

단계 2.3.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.2.1

$18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int \sqrt{u} d u$

단계 2.3.5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$\frac{5}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f + C_{1} = \frac{10}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f + C_{1} = \frac{10}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.4

$10$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.4.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f + C_{1} = \frac{2 (5)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.4.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f + C_{1} = \frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $9 x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$f + C_{1} = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $f$ 에 $9$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$9 = \frac{5}{3} {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

단계 4.2.1.2

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

단계 4.2.2

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{5}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 9$

단계 4.2.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

단계 4.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

단계 4.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + K = 9$

단계 4.2.6

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{5}{3} \cdot 8 + K = 9$

단계 4.2.7

$\frac{5}{3} \cdot 8$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

$\frac{5}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 8}{3} + K = 9$

단계 4.2.7.2

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{40}{3} + K = 9$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{40}{3}$ 를 뺍니다.

$K = 9 - \frac{40}{3}$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$K = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

단계 4.3.3

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$K = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{9 \cdot 3 - 40}{3}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$K = \frac{27 - 40}{3}$

단계 4.3.5.2

$27$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$K = \frac{- 13}{3}$

단계 4.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$K = - \frac{13}{3}$

단계 5

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ 의 $K$ 에 $- \frac{13}{3}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- \frac{13}{3}$ 를 대입합니다.

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{13}{3}$

단계 5.2

$\frac{5}{3}$ 와 ${(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13}{3}$

단계 5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 13}{3}$