미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

${(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}$ 을 $(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int (7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x} e^{x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.2

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 (e^{x} e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x + x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.2.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.3

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{x} e^{- x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.5

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1.5.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 (e^{- x} e^{x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{- x + x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.5.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{0} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.6

$7 \cdot - 3 e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.7

$7$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{- x} e^{x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.9

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1.9.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 (e^{x} e^{- x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{x - x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.9.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{0} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.10

$- 3 \cdot 7 e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.11

$- 3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.12

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- x} e^{- x} d x$

단계 2.3.1.3.1.13

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1.13.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 (e^{- x} e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.13.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- x - x} d x$

단계 2.3.1.3.1.13.3

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.1.3.1.14

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 + 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.1.3.2

$- 21$ 에서 $21$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 42 + 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} d x + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.3

$49$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $49$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 49 \int e^{2 x} d x + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.4

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.3.4.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.3.4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.3.4.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 49 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.5

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 49 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 49 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.7

$\frac{1}{2}$ 와 $49$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.8

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.9

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + \int 9 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.10

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.11

먼저 $u_{2} = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.1

$u_{2} = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.3.11.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 2.3.11.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 2.3.11.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 2.3.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.12.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 2.3.12.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 2.3.13

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

단계 2.3.14

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - 9 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 2.3.15

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - 9 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 2.3.16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.16.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 9$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + \frac{- 9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.16.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.17

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

단계 2.3.18

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{u_{1}} - 42 x - \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

단계 2.3.19

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.19.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 42 x - \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

단계 2.3.19.2

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 42 x - \frac{9}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

단계 2.3.20

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 42 x + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 42 x + K$