미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 3 y)}{2 x}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분수 $\frac{(x + 3 y)}{2 x}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{3 y}{2 x}$

단계 1.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{3 y}{2 x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

단계 1.2

$- \frac{3 y}{2 x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

단계 1.3

$y$ 와 $- \frac{3}{2 x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - \frac{3}{2 x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

단계 2.2

$- \frac{3}{2 x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

단계 2.2.2

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 2.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- \frac{3}{2} \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- \frac{3}{2}})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- \frac{3}{2}}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.3

$\frac{3}{2 x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.4

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$\frac{3 y}{2 x}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x \cdot x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1

$x^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.4.2.2

$x^{\frac{3}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.4.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.4.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.4.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.2.4.2.5

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

단계 3.3

조합합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} (2 x)}$

단계 3.4

지수를 더하여 $x^{\frac{3}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

단계 3.4.2

$x$ 에 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

단계 3.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

단계 3.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

단계 3.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 3}{2}} \cdot 2}$

단계 3.4.5

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

단계 3.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

단계 3.6

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{1}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

단계 3.7

지수를 더하여 $x^{\frac{5}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$x^{- 1}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

단계 3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

단계 3.7.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

단계 3.7.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

단계 3.7.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

단계 3.7.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

단계 3.7.6.2

$- 2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

단계 3.8

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 7.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$x^{\frac{3}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

단계 7.2.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

단계 7.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

단계 7.2.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

단계 7.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 7.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

단계 7.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

단계 7.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 7.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

단계 7.4.2.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 7.4.2.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 7.4.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 를 더합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = C$

단계 8.1.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

단계 8.1.3

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

단계 8.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 를 뺍니다.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} - C = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 8.2.2

방정식의 양변에 $C$ 를 더합니다.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 8.3

양변에 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$(- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.2.1.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1.2.1

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.2.1.1.2.2

$x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = - 1 x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$y = - 1 x^{1} + C x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.2.1.2.2

간단히 합니다.

$y = - 1 x + C x^{\frac{3}{2}}$

단계 8.4.2.1.2.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - x + C x^{\frac{3}{2}}$