미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ 에서 $x$ 에 $3$ 을, $y$ 에 $7$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

단계 4.2

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.1.1

$3^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

단계 4.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

단계 4.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

단계 4.2.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

단계 4.2.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 - 3 + K = 7$

단계 4.2.2

$9$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$6 + K = 7$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$K = 7 - 6$

단계 4.3.2

$7$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$K = 1$

단계 5

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ 의 $K$ 에 $1$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

단계 5.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$