미적분 예제

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $2 y d x$ 를 뺍니다.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{- 3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$e^{- 3 x} y$ 에서 $e^{- 3 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

단계 3.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

단계 3.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$e^{- 3 x} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

단계 3.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

단계 3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

단계 3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

단계 4.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

단계 4.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

단계 4.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

단계 4.3.3.2

$e^{- 3 x}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

단계 4.3.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.3.1

${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

단계 4.3.3.3.1.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

단계 4.3.3.3.2

$e^{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

단계 4.3.4

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 4.3.4.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 4.3.4.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 4.3.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

단계 4.3.5

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

단계 4.3.6

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

단계 4.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

단계 4.3.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

단계 4.3.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

단계 4.3.10

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

단계 5.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

단계 5.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.1

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

단계 5.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$e^{3 x}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

단계 5.3.2.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

단계 5.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 6.1

$e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ 을 $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

단계 6.2

$e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

단계 6.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$