미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 4 x - y$

단계 1

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} + y = 4 x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 1$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} (4 x)$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 4 e^{x} x$

단계 3.3

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 4 e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 4 x e^{x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 4 x e^{x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 4 x e^{x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{x} y = \int 4 x e^{x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} y = 4 \int x e^{x} d x$

단계 7.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

단계 7.3

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

단계 7.4

간단히 합니다.

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$

단계 8

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{4 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

단계 8.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

단계 8.3.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 x e^{x} - 4 e^{x} + C}{e^{x}}$