미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{9 y - 8}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 y - 8} \cdot \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

단계 1.2

$9 y - 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 y - 8} \cdot \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 x - 7}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{9 y - 8} d y = \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{9 y - 8} d y = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u_{1} = 9 y - 8$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 9 d y$ 이므로 $\frac{1}{9} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u_{1} = 9 y - 8$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$9 y - 8$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [9 y - 8]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $9 y - 8$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [9 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [9 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [9 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$9$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $9 y$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]$

단계 2.2.1.1.3.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 + \frac{d}{d y} [- 8]$

단계 2.2.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.4.1

$- 8$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$9 + 0$

단계 2.2.1.1.4.2

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9$

단계 2.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{9} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ 에 $\frac{1}{9}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 9} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2.2.2.2

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\int \frac{1}{9 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{9}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\frac{1}{9} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{9} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2.2.6

$u_{1}$ 를 모두 $9 y - 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = 8 x - 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 8 d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = 8 x - 7$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$8 x - 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [8 x - 7]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $8 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3.1.1.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.4.1

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$8 + 0$

단계 2.3.1.1.4.2

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.3

$\frac{1}{8}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 2.3.6

$u_{2}$ 를 모두 $8 x - 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) = \frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $9$ 을 곱합니다.

$9 (\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |)) = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$9 (\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{9}$ 와 $\ln (| 9 y - 8 |)$ 을 묶습니다.

$9 \frac{\ln (| 9 y - 8 |)}{9} = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$9 \frac{\ln (| 9 y - 8 |)}{9} = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{8}$ 와 $\ln (| 8 x - 7 |)$ 을 묶습니다.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + C)$

단계 3.2.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $C$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + C \cdot \frac{8}{8})$

단계 3.2.2.1.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$C$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + \frac{C \cdot 8}{8})$

단계 3.2.2.1.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 \frac{\ln (| 8 x - 7 |) + C \cdot 8}{8}$

단계 3.2.2.1.4

$C$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 \frac{\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C}{8}$

단계 3.2.2.1.5

$9$ 와 $\frac{\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C}{8}$ 을 묶습니다.

$\ln (| 9 y - 8 |) = \frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 9 y - 8 |)} = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 9 y - 8 |) = \frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} = | 9 y - 8 |$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$| 9 y - 8 | = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 9 y - 8 | = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

단계 3.5.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$9 y - 8 = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

단계 3.5.3

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$

단계 3.5.4

$9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$ 의 각 항을 $9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$ 의 각 항을 $9$ 로 나눕니다.

$\frac{9 y}{9} = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

단계 3.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 y}{9} = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

단계 3.5.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

단계 3.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8}{9}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + C)}{8}} + 8}{9}$