미적분 예제

$y (3) = 3$ 일 때 $\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$ 임

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

단계 1.2

$y + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = y + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = y + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$y + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

단계 2.2.1.1.4

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $y + 3$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

단계 3.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

단계 3.5.2

양변에 $| x |$ 을 곱합니다.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

단계 3.5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$| x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

단계 3.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

단계 3.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$e^{C} | x |$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

단계 3.5.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

단계 3.5.4.3

$\pm | x | e^{C}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

단계 3.5.4.4

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm C | x | - 3$

단계 4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C | x | - 3$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = C | x | - 3$ 에서 $x$ 에 $3$ 을, $y$ 에 $3$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$3 = C | 3 | - 3$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$C | 3 | - 3 = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C | 3 | - 3 = 3$

단계 6.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$C \cdot 3 - 3 = 3$

단계 6.2.2

$C$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 C - 3 = 3$

단계 6.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$3 C = 3 + 3$

단계 6.3.2

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$3 C = 6$

단계 6.4

$3 C = 6$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$3 C = 6$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

단계 6.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

단계 6.4.2.1.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{6}{3}$

단계 6.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

$6$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$C = 2$

단계 7

$y = C | x | - 3$ 의 $C$ 에 $2$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = 2 | x | - 3$